§ 48. Движение материальной точки под действием силы притяжения (задача двух тел)

Эта задача решается путем интегрирования дифференциальных уравнений движения, получаемых из основного уравнения динамики материальной точки (2.14), в котором сила F есть сила притяжения. Мы не будем интегрировать эти уравнения, так как с этим учащийся познакомится в курсах теоретической астрономии и небесной механики Остановимся лишь на результатах решений.

Если неподвижная масса М, сосредоточенная в точке С, стала притягивать к себе в некоторый момент материальную точку т с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то ускорение точки т будет направлено по прямой тС, а ее дальнейшее движение будет зависеть от расстояния и от величины и направления скорости v₀, которые она имела в начальный момент (в момент начала действия притяжения массой М).

Если скорость v₀ > 0, но не превосходит некоторого предела v_c , то точка т будет двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого будет находиться точка С (рис. 30). Плоскость эллипса будет проходить через точки С, т и направление скорости v₀ .

Форма и размеры эллипса будут различны, смотря по величине скорости v₀ . При малых v₀ эллипс будет сильно сжатым, его большая ось будет лишь немного больше, чем Cm, и точка С будет находиться в фокусе, далеком от m. Если скорость v₀ будет близка к скорости v_c , но меньше ее, то эксцентриситет эллипса будет мал, его большая полуось будет лишь немного меньше, чем Cm, точка С приблизится к центру эллипса, но останется в фокусе, далеком от т.

Если начальная скорость v₀ = v_c и будет направлена перпендикулярно к линии Cm, то точка m будет двигаться по кругу радиуса Сm.

Если v₀ > v_c , но не превосходит некоторого предела v_п = v_c , то точка т будет двигаться по эллипсу, но точка С при этом будет находиться в фокусе, близком к m, а большая ось эллипса будет тем больше, чем ближе v₀ к v_п .

Если v₀ = v_п = v_c , то точка т будет двигаться по параболе, обе ветви которой уходят в бесконечность, приближаясь к направлению, параллельному оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться от тела М, ее скорость будет стремиться к нулю.

Если v₀ > v_п , то точка т будет двигаться по гиперболе, ветви которой уходят в бесконечность и, при очень большой начальной скорости, приближаются к направлению, перпендикулярному к оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться по гиперболе, ее скорость будет стремиться к некоторой постоянной величине.

Наконец, в предельных случаях, когда v₀ = ¥, точка т будет двигаться по прямой тb, а когда v₀ = 0, то по прямой тС.

Скорость v точки т на любом расстоянии r от точки С получается из формулы

(2.18)

где а — большая полуось эллипса. Эта формула называется интегралом энергии.

Если точка m движется по кругу, т.е. r = а, то из уравнения (2.18) следует

(2.19)

а если точка m движется по параболе, то а = ¥ и

(2.20)

Скорость v_c называется круговой скоростью, а v_п — параболической скоростью. Скорость эллиптического движения v_э заключена в пределах 0 < v_э < v_п , а гиперболическая скорость v_r > v_п . Гиперболическая орбита определяется теми же шестью элементами, что и эллиптическая (см. § 41), только вместо большой полуоси а = ¥ дается перигельное расстояние q. Параболическая орбита определяется пятью элементами: i, <, w, t₀ и q, так как для параболы а = ¥ и е = 1.