Содержание
Предисловие 6
Глава 1. Случайное событие 7
§ 1. Понятие случайного события 7
§ 2. Поле случайных событий 8
§ 3. Полная система событий 10
§ 4. Понятие вероятности случайного события 12
§ 5. Классическое определение вероятности события 13
§ 6. Статистическое определение вероятности события 27
§ 7. Условная вероятность. Зависимые и независимые события 29
§ 8. Теоремы сложения и умножения вероятностей 31
§ 9. Аксиоматическое построение теории 42
§ 10. Формула полной вероятности 45
§ 11. Теорема Байеса 46
§ 12. Вероятность сложного события 47
Глава 2. Случайная величина 54
§ 13. Случайная величина с дискретным распределением 54
§ 14. Биномиальное распределение 58
§ 15. Гипергеометрическое распределение 60
§ 16. Распределение Пуассона 62
§ 17. Непрерывная случайная величина 63
§ 18. Функции от случайной величины 69
§ 19. Дельта-функция 73
§ 20. Математическое ожидание функции от случайной величины 75
§ 21. Моменты функций распределения 78
§ 22. Связь между моментами относительно различных начал 84
§ 23. Моменты распределения Пуассона 85
§ 24. Вероятностная трактовка некоторых физических понятий 90
§ 25. Флуктуации физических величин 92
§ 26. Нормальный закон распределения 96
§ 27. Асимметрия и эксцесс распределения 99
§ 28. Характеристическая функция случайной величины 103
§ 29. Интегральное представление дельта-функции 105
§ 30. Интеграл вероятностей 107
§ 31. Теорема Муавра — Лапласа 108
§ 32. Мера неопределенности полной системы событий 115
§ 33. Количество информации 118
§ 34. Мера неопределенности случайной величины 124
Глава 3. Случайный вектор 129
§ 35. Понятие случайного вектора. Функция распределения случайного вектора 129
§ 36. Функция от случайного вектора 132
§ 37. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин 136
§ 38. Математическое ожидание функции от случайного вектора 149
S 39. Неравенство Шварца 149
§ 40. Характеристическая функция суммы случайных величин 150
§ 41. Суммирование большого числа случайных величин. Метод А. А. Маркова 152
§ 42. Случай, когда сумма одинаково распределенных взаимно независимых случайных
величин при n \to \infty имеет математическое ожидание и дисперсию 154
§ 43. Распределение Хольцмарка 155
§ 44. Центральная предельная теорема 160
§ 45. Функция распределения случайных ошибок наблюдений 161
§ 46. Случайная величина \chi_n^2 165
§ 47. Обобщенная теорема Муавра — Лапласа 167
§ 48. Моменты случайного вектора. Коэффициент корреляции 170
Глава 4. Оценивание параметров распределении и статистические гипотезы 174
§ 49. Статистические коллективы 174
§ 50. Случайная выборка из статистического коллектива 180
§ 51. Принцип наибольшего правдоподобия. Точечные оценки параметров 183
§ 52. Принцип наибольшего правдоподобия в статистическом коллективе с дискретным
аргументом. Точечные оценки вероятностей 184
§ 53. Принцип наибольшего правдоподобия в статистическом коллективе с нормально
распределенным аргументом. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
аргумента 186
§ 54. Распределение выборочного среднего значения и стандарта в выборках из
нормальной генеральной совокупности 187
§ 55. Распределение Стьюдента. Оценивание параметров при помощи доверительного
интервала 191
§ 56. Косвенные измерения. Метод наименьших квадратов 197
§ 57. Сумма квадратов остающихся погрешностей для точечных оценок неизвестных
201
§ 58. Оценивание неизвестных в способе наименьших квадратов при помощи доверительного
203
§ 59. Проверка гипотез о функции распределения аргумента. Критерий согласия
206
Глава 5. Случайная функция 212
§ 60. Понятие случайной функции 212
§ 61. Классификация случайных функций 215
§ 62. Математическое ожидание функции \eta(X(t_1), X(t_2),... ..., X(t_n)).
Моментные функции случайных функций. Математическое ожидание; дисперсия 222
§ 63. Корреляционная функция 224
§ 64. Случайная функция с некоррелированными приращениями. Пуассоновский процесс.
Взаимная корреляционная функция двух случайных функций 228
§ 65. Переходные вероятности 229
§ 66. Задачи о выбросах 235
§ 67. Стохастический интеграл 239
§ 68. Комплексная случайная величина. Комплексная случайная функция 242
§ 69. Спектральное представление случайной функции 243
§ 70. Марковские процессы 248
§ 71. Уравнения Колмогорова для непрерывного процесса 250
§ 72. Обобщение для случайной функции-вектора 258
§ 73. Уравнения Колмогорова — Феллера для чисто разрывного марковского процесса
261