Э. Спенъер

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

Книга известного американского математика, содержащая весьма полное и последовательное изложение идей, методов и результатов современной алгебраической топологии, включая теорию гомотопий, гомологии, теорию препятствий и т. д. После каждой главы приводятся упражнения, удачно дополняющие основной текст. От читателя не требуется почти никаких предварительных знаний в этой области.

Книга может служить как учебником, так и справочником по алгебраической топологии и будет полезна весьма широкому кругу математиков, начиная со студентов младших курсов.

Содержание

Предисловие 5

Введение   9

§ 1. Теория множеств    9

§ 2. Общая топология    13

§ 3. Теория групп    16

§ 4. Модули   16

§ 5. Евклидовы пространства    20

Другие книги по алгебраической топологии     22

Глава 1. Гомотопия и фундаментальная группа    23

§ 1. Категории     23

§ 2. Функторы    29

§ 3. Гомотопия    35

§ 4. Ретракция и деформация    42

§ 5. Н-пространства    50

§ 6. Надстройка    56

§ 7. Фундаментальный группоид   63

§ 8. Фундаментальная группа   70

Упражнения     77

Глава 2. Накрывающие пространства и расслоения    82

§ 1. Накрывающие отображения     83

§ 2. Свойство накрывающей гомотопий    87

§ 3. Связь с фундаментальной группой    94

§ 4. Задача поднятия    99

§ 5. Классификация накрывающих отображений    105

§ 6. Накрывающие преобразования    113

§ 7. Расслоенные пространства   119

§ 8. Расслоения    129

Упражнения    137

Глава 3. Полиэдры     141

§ 1. Симплициальные комплексы    142

§ 2. Линейность в симплициальных комплексах   150

§ 3. Подразделения 158

§ 4. Симплициальная аппроксимация 166

§ 5. Классы сопряженности 170

§ 6. Группоид ломаных 177

§ 7. Графы 182

§ 8. Примеры и приложения 188

Упражнения 196

Глава 4. Гомологии 202

§ 1. Цепные комплексы 203

§ 2. Цепная гомотопия 211

§ 3. Гомологии симплициальных комплексов 218

§ 4. Сингулярные гомологии 226

§ 5. Точность 233

§ 6. Последовательность Майера — Виеториса 242

§ 7. Некоторые применения гомологии 251

§ 8. Аксиоматическое описание теории гомологии 259

Упражнения 267

Глава 5. Произведения 273

§ 1. Гомологии с коэффициентами 274

§ 2. Теорема об универсальных коэффициентах для гомологии   283

§ 3. Формула Кюннета 294

§ 4. Когомологии 304

§ 5. Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий     310

§ 6. È- и Ç-произведения 320

§ 7. Гомологии расслоенных пространств 328

§ 8. Алгебра когомологий 340

§ 9. Квадраты Стинрода 347

Упражнения 357

Глава 6. Общая теория когомологий и двойственность    367

§ 1. /-произведение 368

§ 2. Двойственность в топологических многообразиях    376

§ 3. Фундаментальный класс многообразия 384

§ 4. Теория когомологий Александера 395

§ 5. Аксиома гомотопии для теории Александера 401

§ 6. Жесткость и непрерывность 407

§ 7. Предпучки 418

§ 8. Тонкие предпучки 426

§ 9. Применение когомологий предпучков 437

§ 10. Характеристические классы 447

Упражнения. 460

Глава 7. Теория гомотопии 467

§ 1. Точные последовательности множеств гомотопических классов    468

§ 2. Высшие гомотопические группы 477

§ 3. Изменение отмеченной точки 488

§ 4. Гомоморфизм Гуревича 498

§ 5. Теорема Гуревича об изоморфизме 507

§ 6. CW-комплексы 515

§ 7. Гомотопические функторы 523

§ 8. Слабый гомотопический тип 531

Упражнения 539

Глава 8. Теория препятствий 544

§ 1. Пространства Эйленберга — Маклейна 545

§ 2. Главные расслоения 555

§ 3. Разложение Мура — Постникова 563

§ 4. Теория препятствий 572

§ 5. Отображение надстройки 582

Упражнения 593

Глава 9. Спектральные последовательности и гомотопические группы сфер 598

§ 1. Спектральные последовательности 599

§ 2. Спектральная последовательность расслоения 608

§ 3. Применение гомологической спектральной последовательности 619

§ 4. Мультипликативные свойства спектральных последовательностей 630

§ 5. Применение когомологической спектральной последовательности 641

§ 6. Классы Серра абелевых групп 649

§ 7. Гомотопические группы сфер 659

Упражнения 667

Предметный указатель 671