О. Зарисский, П. Самюэль

КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА. Т. 1

За последние десятилетия под влиянием ряда разделов современной математики, таких, как алгебраическая геометрия и другие, интенсивно развивалась теория коммутативных колец и полей. Данным разделом алгебры и посвящена эта обстоятельная монография. Изложение открывается основными понятиями современной алгебры (группы, кольца и поля), начиная от самых первоначальных сведений до основной теоремы теории Галуа.

Остальная часть первого тома монографии посвящена общей теории коммутативных колец и охватывает наряду с классическими результатами многие факты, найденные и самые последние годы и освещавшиеся до сих пор лишь в журнальных статьях.

Во втором томе подробно исследуются кольца специальных типов: кольца нормировании, кольца полиномов и степенных рядов и локальные кольца.

Книга может служить учебным пособием и основой для специальных курсов по важным разделам современной алгебры и предполагает очень малую предварительную подготовку.

Содержание

От редактора перевода 5

Предисловие 7

Глава I. Вводные понятия 11

§ 1. Бинарные операции 11

§ 2. Группы 13

§ 3. Подгруппы 15

§ 4. Абелевы группы 17

§ 5. Кольца 18

§ 6. Кольца с единицей 19

§ 7. Степени и кратные 20

§ 8. Поля 21

§ 9. Под кольца и под поля 21

§ 10. Преобразования и отображения 23

§ 11. Гомоморфизмы групп 25

§ 12. Гомоморфизмы колец 28

§ 13. Отождествление колец 31

§ 14. Области с однозначным разложением на множители 33

§ 15. Евклидовы области 35

§ 16. Полиномы от одной неизвестной 37

§ 17. Кольца полиномов 40

§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 47

§ 19. Поля частных и полные кольца частных 56

§ 20. Кольца частных относительно мультипликативных систем 61

§ 21. Векторные пространства 64

Глава II. Элементы теории полей 71

§ 1. Расширения полей 71

§ 2. Алгебраические величины 71

§ 3. Алгебраические расширения 76

§ 4. Характеристика поля 78

§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения 81

§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 89

§ 7. Основная теорема теории Галуа 99

§ 8. Поля Галуа 101

§ 9. Теорема о примитивном элементе 103

§ 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы 105

§ 11. Дискриминант 112

§ 12. Трансцендентные расширения 115

§ 13. Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций 122

§ 14. Алгебраически замкнутые поля 127

§ 15. Линейная свобода и сепарабельность 130

§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 135

§ 17. Дифференцирования 142

Глава III. Идеалы и модули 156

§ 1. Идеалы и модули 156

§ 2. Операции над подмодулями 160

§ 3. Операторные гомоморфизмы и фактормодули 162

§ 4. Теоремы об изоморфизме 165

§ 5. Гомоморфизмы кольца и факторкольца 166

§ 6. Порядок подмножества модуля 169

§ 7. Операции над идеалами 171

§ 8. Простые и максимальные идеалы 174

§ 9. Примерные идеалы 178

§ 10. Условия конечности 181

§ 11. Композиционные ряды 185

§ 12. Прямые суммы 191

§ 12'. Бесконечные прямые суммы 200

§ 13. Комаксимальные идеалы и прямые суммы идеалов 203

§ 14. Тензорные произведения колец 208

§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 217

Глава IV. Нстсровы кольца 229

§ 1. Определения. Теорема Гильберта о базисе 229

§ 2. Кольца с условием обрыва убывающих цепей 233

§ 3. Примарные кольца 235

§ 3'. Другой метод изучения колец с у. о. у. ц. 237

§ 4. Теорема Ласкера — Нётер о разложении 239

§ 5. Теоремы единственности 241

§ 6. Приложение: делители нуля и нильпотентные элементы 246

§ 7. Приложение: пересечение степеней идеала 248

§ 8. Расширенные и сокращенные идеалы 251

§ 9. Кольца частных 254

§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из R_M 256

§11. Примеры и приложения колец частных 262

§ 12. Символические степени 266

§ 13. Длина идеала 268

§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 273

§ 15. Кольца главных идеалов 279

§ 16. Неприводимые идеалы 284

Добавление. Примарные представления в нётеровых модулях 289

Глава V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов 292

§ 1. Целые элементы 292

§ 2. Целозависимые кольца 295

§ 3. Целозамкнутые кольца 298

§ 4. Теоремы конечности 303

§ 5. Кондуктор целого замыкания 308

§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 309

§ 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей 318

§ 8. Расширение дедекиндовых областей 322

§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых областей 324

§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 331

§ 11. Дифферента и дискриминант 339

§ 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления круга 354

§ 13. Теорема Куммера 360

Указатель обозначений 364

Предметный указатель 366