Д.П. Желобенко

КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Имея в виду читателей-физиков, автор стремился сделать изложение по возможности более элементарным. Это, в частности, привело к тому, что пришлось опустить ряд интересных и глубоких вопросов, связанных с топологией компактных групп Ли, а также с общей теорией соответствия между группами и алгебрами Ли. В то же время сравнительно подробно рассматриваются вопросы, имеющие приложение к современным задачам теоретической физики.

Содержание

Предисловие 3

ЧАСТЬ I. ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Топологические группы. Группы Ли 15

§ 1. Определение группы 15

§ 2. Топологические группы 19

§ 3. Параметрические группы и группы Ли 25

§ 4. Теория Ли 28

§ 5. Локально изоморфные группы Ли 34

§ 6. Инвариантные формы на группе Ли 40

§ 7. Метрика. Мера Хаара 42

Глава П. Линейные группы 46

§ 8. Полная линейная группа. Экспоненциал 46

§ 9. Полная линейная группа. Основные разложения 48

§ 10. Линейные группы, связанные с формами второго порядка 53

§ 11. Кватернионы 57

§ 12. Вопросы односвязности 62

§ 13. Вопросы комплексификации 66

§ 14. Преобразования в классе тензоров 68

Глава III. Основные задачи теории представлений 74

§ 15. Функции на однородном пространстве 74

§ 16. Терминология теории представлений 78

§ 17. Редукция основной проблемы 84

§ 18. Элементарные гармоники 86

§ 19. Алгебры и группы, связанные с уравнением 91

§ 20. Лемма Шура 94

§ 21. Теорема Бернсайда 99

§ 22. Групповые алгебры и их представления 103

§ 23. Формулировка основных задач 106

ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

Глава IV. Компактные группы Ли. Глобальная теорема 111

§ 24. Определение компактной группы 111

§ 25. Формулировка глобальной теоремы 114

§ 26. Прием усреднения 116

§ 27. Свойство ортогональности 119

§ 28. Аппроксимационная лемма для линейной группы G 120

§ 29. Ряды Фурье на линейной группе G 122

§ 30. Завершение доказательства для линейной группы G 124

§ 31. Завершение доказательства в общем случае 12'/

§ 32. Гармонический анализ на однородном многообразии 129

§ 33. Характеры 132

§ 34. Теория представлений конечных групп 134

§ 35. Универсальность группы U(ri)

139 Глава V. Инфинитезимальный метод в теории представлений 142

§ 36. Дифференциал представления 142

§ 37. Неприводимые представления группы SU(2) 147

§ 38. Матричные элементы группы SU(2) 157

§ 39. О некоторых группах, связанных с SU(2) 164

§ 40. О некоторых проблемах инфинитезимального метода 170

Глава VI. Аналитическое продолжение 176

§ 41. Общий принцип аналитического продолжения 176

§ 42. Надкомпактные группы Ли. «Унитарный трюк» Г. Вейля 182

§ 43. Бикомплексные группы и алгебры Ли 185

§ 44. Комплексная оболочка U(ri). Веса и корни 191

§ 45. Модель неприводимых представлений группы 517(3) 196

Глава VII. Неприводимые представления группы U(n) 203

§ 46. Существование старшего веса 203

§ 47. Единственность старшего вектора 207

§ 48. Различные модели d(a) 210

§ 49. Индуктивные веса 213

§ 50. Произведение Юнга 216

Глава VIII. Тензоры и диаграммы Юнга 220

§ 51. Описание Z- инвариантов 220

§ 52. Диаграммы Юнга 224

§ 53. Симметризаторы Юнга 227

§ 54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрии 231

§ 55. Принцип взаимности 237

§ 56. Реализация d(a) на прямоугольных матрицах 241

§ 57. Гармонический осциллятор 244

Глава IX. Операторы Казимира 250

§ 58. Универсальная обертывающая алгебра 250

§ 59. Операторы Казимира для группы GL(ri) 255

§ 60. Собственные значения операторов C_k 259

§ 61. Разделение точек спектра и алгебраическое доказательство полной приводимости 265

§ 62. Полное описание центра для группы GL(ri) 269

§ 63. Правило циклов 272

Глава X. Индикаторные системы и базис Гельфанда — Цейтлина 282

§ 64. Операторы левого сдвига на группе Z 282

§ 65. Индикаторные системы 287

§ 66. Алгебра Z-мультипликаторов и задача о сужении с группы на подгруппу 293

§ 67. Базис Гельфанда — Цейтлина 300

§ 68. Понижающие операторы в инфинитезимальной форме 305

§ 69. Нормировка базисных векторов 315

§ 70. Дифференциал d(a) 320

§ 71. Матричные элементы d(a) 325

Глава XI. Характеры 331

§ 72. Инвариантная мера на группе U(ri) 331

§ 73. Примитивные характеры U(ri) 335

§ 74. Весовая диаграмма d(a) 338

§ 75. Вторая формула Вейля 345

§ 76. Заключительные замечания 349

Глава XII. Тензорное произведение двух неприводимых представлений группы U(n) 351

§ 77. Метод характеров 351

§ 78. Метод Z-инвариантов 356

§ 79. Частные случаи 361

§ 80. Детерминанты Вейля 366

ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Глава XIII. Основные типы алгебр и групп Ли 373

§ 81. Присоединенное представление алгебры Ли 373

§ 82. Идеал и нормальный делитель 375

§ 83. Основные типы алгебр Ли 377

§ 84. Разрешимые алгебры Ли 381

§ 85. Нильпотептные алгебры Ли 385

§ 86. Разложения Фиттинга 389

§ 87. Билинейная форма Киллинга — Картана 395

§ 88. Основные типы групп Ли 398

§ 89. Теорема Леви — Мальцева 402

Глава XIV. Классификация компактных и редуктивных алгебр Ли 406

§ 90. Компактные алгебры Ли 406

§ 91. Подалгебры Картана 410

§ 92. Базис Картана — Вейля 414

§ 93. Простые корни 417

§ 94. Структурная матрица Картана 421

§ 95. Простые комплексные алгебры Ли 425

§ 96. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли 431

§ 97. Завершение классификации 434

Глава XV. Компактные группы Ли в целом 439

§ 98. Инвариантные полиномы 439

§ 99. Алгебраические группы 442

§ 100. Разложение Гаусса 446

§ 101. Разложение Ивасавы 452

§ 102. Максимальные торы 456

§ 103. Фундаментальная группа и центр 462

§ 104. Теорема о линейности полупростой комплексной группы Ли 466

§ 105. Группа Вейля 469

§ 106. Существование комплексной оболочки 474

§ 107. Некоторые дополнительные результаты 480

Глава XVI. Описание неприводимых конечномерных представлений 486

§ 108. Основная теорема 486

§ 109. Старшие веса и сигнатуры 490

§ 110. Нормально вложенные подгруппы 494

§ 111. Полиномы на группе Z 496

§ 112. Завершение классификации 501

§ 113. Симплектическая группа 506

§ 114. Ортогональная группа 514

§ 115. Теория спиноров 521

§ 116. Вещественные формы 526

§ 117. Произвольные связные группы Ли 529

§ 118. Несколько замечаний 532

Глава XVII. Инфинитезимальная теория (характеры, веса, операторы Казимира) 539

§ 119. Разложение Картана — Вейля в универсальной обертывающей алгебре 539

§ 120. Представления со старшим вектором 542

§ 121. Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X 546

§ 122. Формула Фрейденталя 550

§ 123. Формула Вейля для характеров 556

§ 124. Следствия из формулы Вейля 563

§ 125. Полиномы на картановской подалгебре, инвариантные относительно группы Вейля 565

§ 126. Операторы Казимира 569

§ 127. О вычислении собственных значений операторов Казимира 573

Глава XVIII. Некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений 579

§ 128. Общая схема сужения с группы на подгруппу 579

§ 129. Сужение SO(n)/SO(n—1) 582

§ 130. Сужение Sp(n)/Sp(n—2) 587

§ 131. Тензорное произведение двух неприводимых представлений 590

§ 132. Сужения SU(m+n)/SU(m) X SU(n) и SU(mn)/SU(m) X SU(n) 592

§ 133. Сужение 5C/(n)/SO(n) 596

§ 134. Сферические функции в п-мерном евклидовом пространстве 601

§ 135. О представлениях группы движений n-мерного евклидова пространства 606

Добавление I. О бесконечномерных представлениях полупростой комплексной группы Ли 611

§ 1. Элементарные представления 611

§ 2. Пространство элементарного представления 613

§ 3. Дифференциал элементарного представления 614

§ 4. Вопросы неприводимости 616

§ 5. Аналог формулы Планшереля 617

§ 6. Теоремы типа Пэли — Винера 619

§ 7. Минимальные представления 620

§ 8. Классификация неприводимых представлений 621

§ 9. О полуприводимых представлениях 622

Добавление II. Элементы обшей теории унитарных представлений локально компактных групп 623

§ 1. Коммутативные группы 623

§ 2. Теорема Стоуна — фон Неймана 625

§ 3. Индуцированные представления 628

§ 4. Полупрямые произведения 631

§ 5. Нильпотентные группы Ли 633

§ 6. Разложение унитарных представлений на неприводимые 635

Добавление III. Унитарная симметрия в классе элементарных частиц 638

§ 1. Инвариантность и законы сохранения 638

§ 2. Элементарные частицы. Изотопический спин 641

§ 3. Унитарная симметрия в классе адронов 643

§ 4. Открытие Q-частицы 647

§ 5. Некоторые проблемы 648

Литература 650

Предметный указатель 660