А.Барут, Р.Рончка

ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ, т.1

Авторами монографии являются известные американский и польский ученые, специалисты по теоретико-групповым методам в физике. В книге изложены современные эффективные методы и результаты теории представлений групп и алгебр Ли, отражен широкий спектр их физических приложений. Авторами достигнуто удачное сочетание математической строгости изложения, полноты охвата материала с ясностью и доступностью языка; все главы сопровождаются тщательно подобранными упражнениями.

В русском переводе книга выходит в двух томах. В первом томе (главы 1—11) дана общая теория групп и алгебр Ли, явно строятся их конечномерные представления, излагается теория представлений алгебр Ли неограниченными операторами, теория интегрируемости представлений алгебр Ли.

Книга будет полезна научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов физических и математических специальностей, интересующимся теорией представлений групп и алгебр, а также их приложениями.

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ 8

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ 10

ОБОЗНАЧЕНИЯ 14

Глава 1. АЛГЕБРЫ ЛИ 15

§ 1. Основные понятия и общие свойства 15

§ 2. Разрешимые, нильпотентные, полупростые и простые алгебры Ли 25

§ 3. Структура алгебр Ли 33

§ 4. Классификация простых комплексных алгебр Ли 36

§ 5. Классификация простых вещественных алгебр Ли 46

§ 6. Разложения Гаусса, Картана и Ивасавы 55

§ 7. Приложение. Об объединении алгебры Пуанкаре и алгебр внутренней симметрии 62

§ 8. Контракция алгебр Ли 64

§ 9. Комментарии и дополнения 66

§ 10. Упражнения 68

Глава 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 72

§ 1. Топологические пространства 72

§ 2. Топологические группы 82

§ З. МераХаара 90

§ 4. Комментарии и дополнения 94

§ 5. Упражнения 95

Глава 3. ГРУППЫ ЛИ 99

§ 1. Дифференцируемые многообразия 99

§ 2. Группы Ли 106

§ 3. Алгебры Ли групп Ли 111

§ 4. Прямое и полупрямое произведения 122

§ 5. Разложение Леви — Мальцева 125

§ 6. Разложения Гаусса, Картана, Ивасавы и Брюа 128

§ 7. Классификация простых групп Ли 134

§ 8. Структура компактных групп Ли 137

§ 9. Инвариантная метрика и инвариантная мера на группах Ли 139

§ 10. Комментарии и дополнения 140

§ 11. Упражнения 144

Глава 4. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 154

§ 1. Однородные пространства 154

§ 2. Симметрические пространства 155

§ 3. Инвариантные и квазиинвариантные меры на однородных пространствах 161

§ 4. Комментарии и дополнения 164

§ 5. Упражнения 165

Глава 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 167

§ 1 Основные понятия 167

§ 2. Эквивалентность представлений 173

§ 3. Неприводимость и приводимость 175

§ 4. Циклические представления 181

§ 5. Тензорное произведение представлений 183

§ 6. Разложение унитарных представлений в прямой интеграл 186

§ 7. Комментарии и дополнения 193

§ 8. Упражнения 196

Глава 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП 197

§ 1. Неприводимые представления и характеры 197

§ 2. Теоремы Стоуна и ШАГ 199

§ 3. Комментарии и дополнения 202

§ 4. Упражнения 204

Глава 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП 205

§ 1. Основные свойства представлений компактных групп 205

§ 2. Аппроксимационные теоремы Петера— Вейля и Вейля 212

§ 3. Проективные операторы и неприводимые представления 218

§ 4. Приложения 221

§ 5. Представления конечных групп 228

§ 6. Комментарии и дополнения 239

§ 7. Упражнения 241

Глава 8. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ 244

§ 1 Общие свойства представлений разрешимых и полупростых групп Ли 244

§ 2. Индуцированные представления групп Ли 250

§ 3. Представления групп GL(n, С), GL(n, R), U(p, q), U(n), SL(n, С), SL(n, R), SU(p,q)HSU(n) 261

§ 4. Представления симплектических групп Sp (n, С), Sp (n, R) и Sp (n) 266

§ 5. Представления ортогональных групп SO (n, С), SO (p, q), SO* (n) и 268

SO(n)

§ 6. Фундаментальные представления 272

§ 7. Представления произвольных групп Ли 274

§ 8. Другие результаты и комментарии 277

§ 9. Упражнения 289

Глава 9. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ И ОБЕРТЫВАЮЩИЕ ПОЛЯ 293

§ 1. Тензорные операторы 293

§ 2. Обертывающая алгебра 301

§ 3. Инвариантные операторы 303

§ 4. Операторы Казимира для классических групп Ли 307

§ 5. Обертывающие поля 321

§ 6. Дальнейшие результаты и комментарии 329

§ 7. Упражнения 331

Глава 10. ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ

333

§ 1. Метод Гельфанда — Цетлина 333

§ 2. Тензорный метод 349

§ 3. Метод гармонических функций 362

§ 4. Метод операторов рождения и уничтожения 371

§ 5. Комментарии и дополнения 374

§ 6. Упражнения 376

Глава 11. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБР ЛИ И ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ: АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ 380

§ 1. Представления алгебр Ли неограниченными операторами 381

§ 2. Представления обертывающих алгебр неограниченными операторами 387

§ 3. Аналитические векторы и аналитическая доминантность 397

§ 4. Аналитические векторы для унитарных представлений групп Ли 412

§ 5. Интегрируемость представлений алгебр Ли 417

§ 6. ФС³-теория интегрируемости представлений алгебр Ли 422

§ 7. «Уравнение теплопроводности» на группе Ли и аналитические векторы 429

§ 8. Алгебраическое построение неприводимых представлений 438

§ 9. Комментарии и дополнения 446

§ 10. Упражнения 447